Probabilidade

Fenômenos aleatórios, no longo prazo, estabilizam em padrões consistentes e previsíveis. No curto prazo, o fenômeno é aleatório; no longo prazo também. Mas, no longo prazo, o comportamento do fenômeno tende a se estabilizar (o que o torna mais previsível). De qualquer forma, é impossível prever resultados individuais, pois o fenômeno não deixa de ser aleatório, não importando quantas vezes o mesmo experimento é repetido.

Cada experimento de um fenômeno aleatório gera um resultado. Um evento refere-se a um resultado ou a uma combinação de resultados de um experimento. Todos os resultados possíveis de um experimento formam o conjunto do espaço amostral, S.

Lei dos Grandes Números e Independência dos Eventos

A Lei dos Grandes Números garante que as frequências relativas de eventos independentes convergem para a frequência relativa verdadeira — que pode ser interpretada como a probabilidade do evento — à medida que aumenta o número de repetições do experimento. Esta é a probabilidade empírica.

Por Grande entende-se infinitamente grande — o número tende ao infinito.

Independência significa que o resultado de um experimento não influencia ou altera o resultado de outro experimento. Neste caso, a probabilidade de um resultado é sempre a mesma (a probabilidade de ‘cara’ ao jogar uma moeda é P(cara)=1/2 ; se apareceram 20 caras seguidas, a probabilidade de ‘cara’ na 21ͣ jogada continua sendo 1/2 — a moeda não está te devendo algumas coroas para compensar).

No longo prazo, desvios de curto prazo são compensados e formam a verdadeira probabilidade do evento — mas longo prazo quer dizer infinitamente longo.

Tipos de Probabilidades

• Probabilidade empírica — derivada da frequência relativa de longo prazo de ocorrência do evento de interesse. Portanto, toma-se a frequência relativa de um evento (em fração) como sua probabilidade de ocorrência;
• Probabilidade subjetiva ou pessoal — representa a crença pessoal sobre a probabilidade de que algo ocorra; pode ser baseada em experiência, conhecimento prévio ou ‘achismo’ mesmo;
• Probabilidade teórica — deriva de um modelo matemático, mais fácil de ser entendido quando os eventos são igualmente prováveis (ex. probabilidade de ‘cara’ ao jogar uma moeda P(cara)=1/2, ‘número 5’ ao jogar um dado P(5)=1/6)

A Probabilidade Teórica

O básico:

P(A) = #resultados do evento A / #todos os resultados possíveis

Se cada resultado de um experimento é igualmente provável, a probabilidade de um único resultado é igual a 1 dividido pelo número de resultados possíveis.

Nem sempre o resultado de um evento aleatório é igualmente provável .

Para a Mega Sena, por exemplo, de uma perspectiva individual, você tem dois resultados: você ganha ou você não ganha a aposta. Mas, a chance de ganhar na Mega não é P(ganhar)=1/2 e P(não ganhar)=1/2. Em termos de probabilidade, um bilhete simples (evento A) tem probabilidade de 1 em 50.063.860 de acertar os 6 números sorteados (são mais de 50 milhões de resultados possíveis e o seu bilhete é apenas um destes resultados).

As Regras da Probabilidade

Se aplicam a qualquer tipo de probabilidade: empírica, teórica ou subjetiva.

Regras gerais

• A probabilidade individual de um resultado é um número entre 0 e 1:

Para um evento A qualquer, 0<= P(A) <=1

Se P(A)=0, o evento não ocorre; se P(A)=1, ocorre com certeza.

• A soma de todas as probabilidades de todos os resultados possíveis é 1. Sendo S o conjunto de todos os resultados possíveis (espaço amostral):

P(s) = 1

Conceitos essenciais

• Espaço amostral — conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento;
• Complemento de A (Aͨ)— conjunto de resultados em que A não ocorre;
• Eventos independentes — a ocorrência de um não interfere na probabilidade do outro; formalmente P(B|A)=P(B). ex.: qual é a probabilidade de chover amanhã se meu time ganhar hoje a noite? é a probabilidade chover amanhã, pura e simplesmente; meu time ganhar ou perder não influencia a previsão do tempo;
• Eventos disjuntos — mutuamente exclusivo — se um evento ocorre, o outro não ocorre de jeito nenhum. Se os eventos são mutuamente exclusivos, eles nunca serão independentes, pois saber que o primeiro evento ocorreu torna impossível a ocorrência do outro.

ex.: dois eventos disjuntos — A={você dorme} B={você estuda}. Sabendo que você dormiu (evento A), a probabilidade de estudar torna-se 0 (a não ser que você seja um ser muito especial). Portanto, a ocorrência de A (dormir) altera a probabilidade de B (estudar) — os eventos disjuntos não são independentes.

Regra do complemento

A probabilidade do evento A ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade do evento A não ocorrer.

P(A) = 1-P(Aͨ)

Regra da multiplicação (para eventos independentes)

Probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem corresponde à multiplicação de suas probabilidades. P(A e B) é mesmo que a interseção P(A∩B):

P(A e B) = P(A) x P(B)

Probabilidade condicional

Probabilidade condicional de um evento B, dado que o evento A ocorreu — a ocorrência do evento A altera o espaço amostral e a probabilidade de B ocorrer. P(A|B): probabilidade de A dado B — restringe o espaço amostral ao evento A e a probabilidade de B também ocorrer (após ocorrência de A) é:

P(A|B) = P(A e B) / P(A)

Regra geral da multiplicação

Não requer que os eventos sejam independentes. A probabilidade de dois eventos ocorrerem (simultaneamente) é a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B, dado que A também ocorre:

P(A e B) = P(A) x P(B|A)

Como os eventos são simultâneos, tanto faz quem é A e quem é B — a fórmula também pode ser escrita como:

P(A e B) = P(B) x (A|B)

Regra da adição (para eventos disjuntos)

Se os dois eventos são mutuamente exclusivos (ou seja, a ocorrência de um impede a ocorrência de outro), a probabilidade de que um dos dois ocorra é simplesmente a soma de suas probabilidades individuais. P(A ou B) é a união P(AUB):

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Regra geral da adição

Não requer que os eventos sejam mutuamente exclusivos. Deve-se subtrair uma vez a probabilidade da intersecção (caso contrário, esta probabilidade será contada duas vezes):

P(A ou B) = P(A) + P(B)- P(A e B)

Probabilidades conjuntas

e tabelas de contingência

Probabilidade conjunta é a probabilidade de dois eventos acontecerem ao mesmo tempo.

Probabilidades marginais são facilmente calculadas a partir de uma tabela de contingência — são usados os valores das margens da tabela.

Exemplo prático TK