Taxas de Crescimento em Demografia
Objetivos de aprendizado:
→ Compreender as taxas de crescimento populacional:
- taxa bruta de crescimento;
- taxa de crescimento instantânea;
- taxa de crescimento média.
→ Estimar o número de pessoas-ano vividos durante um período de tempo [0 , T]
TAXAS DE CRESCIMENTO EM DEMOGRAFIA
Taxa Bruta de Crescimento
Equação de Balanceamento da Mudança Populacional:
Rearranjando a equação 1.1 e dividindo ambos os lados pelo total de pessoas-ano vividos entre 0 e T:
- CGR [0, T] (crude growth rate) — Taxa Bruta de Crescimento: mudança no tamanho da população dividido pelo total de pessoas-ano vividos entre 0 e T.
- sendo N(T) maior que N(0) → taxa de crescimento positiva
- CGR = CBR — CDR + CRIM — CROM
- Taxa Bruta de Crescimento Natural (CRNI — crude rate of natural increase) = diferença entre taxas brutas de nascimentos e de mortes
- Taxa Bruta de Migração Líquida (CRNM — crude rate of net migration) = diferença entre taxas brutas de imigração e emigração
Duas outras formas de taxa de crescimento em Demografia: taxa de crescimento instantânea e taxa de crescimento média anual
Taxa de Crescimento Instantânea
É a taxa de crescimento calculada para o período entre o tempo t e o tempo Δt , sendo que Δt é muito pequeno.
- r(t) é a taxa de crescimento
- ΔN(t) = N(t + Δt) — N(t)
- N(t)Δt = pessoas-ano vividos entre t e t + Δt
- Desse modo, a taxa bruta de crescimento pode ser representada por:
Como Δt é muito pequeno (tende a 0), o limite de ΔN(t)/Δt será a derivada da função N(t):
- Taxa de crescimento instantânea no tempo t
- o intervalo de tempo dt é muito pequeno, e r(t) refere-se também a um intervalo de tempo muito pequeno — apesar disso, r(t) continua sendo uma taxa anual
Conceito de taxa de crescimento instantâneo é útil para outros desdobramentos.
Para períodos de tempo mais longos, a fórmula anterior (1.3) pode ser integrada para o tempo entre 0 e T (medido em anos):
simplificando:
exponenciando ambos os lados da equação 1.4:
rearranjando:
A equação (1.5) é extremamente importante na Demografia → ela expressa a mudança no tamanho da população ao longo de um intervalo de tempo discreto como função do conjunto de taxas de crescimento instantâneas que prevaleceu no período entre 0 e T
- Obs.: por definição, é uma medida de crescimento exponencial
Se a taxa de crescimento instantânea r(t) for constante durante o período, podemos simplificar a equação (1.5):
Rearranjando e tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
O que a equação 1.7 mostra:
- se a taxa de crescimento instantânea r(t) é constante ao longo do intervalo de tempo [0, T] → seu valor pode ser calculado facilmente → basta observar o tamanho da população no início e no final do intervalo
Taxa de Crescimento Média Anual
Dividindo ambos os lado da equação (1.4) por T (tamanho do intervalo de tempo):
- Do lado esquerdo, temos a média do valor da taxa de crescimento instantânea entre 0 e T → r̄[0, T]
- Do lado direito, temos uma expressão idêntica à da fórmula 1.7
- Taxa de crescimento média anualizada entre 0 e T:
- Se a taxa de crescimento é constante, r(t)=r*, que equivale a r̄[0, T] (vantagem de r̄: não assume constância da taxa durante o intervalo)
Tempo de Duplicação
Uma população duplicará de tamanho sempre que a soma de suas taxas anuais de crescimento atingirem 0,693
Se a população dobra de tamanho entre 0 e T, então:
Desse modo, assumindo um crescimento constante de r*, podemos calcular o tempo que a população vai levar para duplicar seu tamanho:
Exemplos:
- a uma taxa de crescimento anual constante de 0,03, a população dobra a cada 23,1 anos;
- a uma taxa de crescimento anual constante de 0,01, a população dobra a cada 69,3 anos;
- Brasil 2022: taxa de crescimento = 0,0052 (0,52%) → mantendo essa taxa constante, a população brasileira duplicaria de tamanho a cada 133 anos
COMPARAÇÃO DA TAXA BRUTA DE CRESCIMENTO E TAXA DE CRESCIMENTO MÉDIA ANUAL
Para um intervalo de tempo discreto [0, T], podemos calcular a taxa bruta de crescimento CGR [0, T] e a taxa de crescimento média anual r̄ [0, T]
- lição básica = quando a taxa de crescimento instantânea é constante entre 0 e T → CGR e r̄ serão iguais!
Se a taxa de crescimento instantânea não for constante, diferenças entre CGR e r̄ apenas serão significativas se o período de tempo considerado for muito extenso (ex.: mais de uma década) e r(t) for muito irregular.
Voltando à equação (1.2) e substituindo PY pela integral, temos:
Na figura, N(0) e N(t) são iguais nos 3 cenários.
A diferença está na distribuição das taxas de crescimento, se não forem constantes, CGR e r̄ serão distintas:
- early growth: CGR < r̄
- late growth: CGR > r̄
- crescimento constante : CGR = r̄
Quando r(t) = r*:
Agora, substituindo o denominador da equação 1.9 (pessoas-ano vividos) pela expressão (1.10):
Se a taxa de crescimento for constante:
Portanto, se as taxas de crescimento são constantes, a taxa bruta será igual à taxa média — CGR = r̄
- diferenças entre as duas serão de pouca importância, exceto se taxas foram muito irregulares e período de tempo muito longo
- Taxa de crescimento média anualizada entre 0 e T:
- não possui pessoas-ano vividos em seu denominador (característica importante para uma taxa demográfica)
- assumindo constância no período, seu valor será idêntico à taxa bruta de crescimento CGR, que utiliza pessoas-ano vividos em seu denominador
Ou seja, se não tivéssemos nenhuma informação a respeito da taxa de crescimento r(t) em um ano específico, poderíamos assumir que a taxa de crescimento é constante no período;
Para estimar as pessoas-ano vividos durante esse ano específico, podemos utilizar a fórmula:
- será necessário apenas saber o tamanho da população no início e no final do ano
generalizando para quando o período não for de 1 ano:
- necessário apenas saber o tamanho da população no início e no final do período
Equação (1.11) poderá ser utilizada para estimar o número de pessoas-ano vividos durante um período de tempo [0 , T], com a vantagem de manter consistência entre a CGR e a r̄
Comumente, as estimativas do tamanho da população são disponibilizadas para o meio do ano → neste caso, é perfeitamente aceitável utilizar a população do meio do ano como estimativa das pessoas-ano vividos pela população naquele ano
A aproximação entre meio do ano e pessoas-ano estará correta quando a sequência de N(t) for linear ao longo do ano.
Mesmo que a sequência N(t) seja produto de uma taxa de crescimento constante, o erro em utilizar a aproximação do meio do ano será pequeno:
- exemplo: se r = 0,03, a razão entre pessoas-ano vividos e a população do meio do ano será 1,00004
- a população do meio do ano sempre subestima o número de pessoas-ano vividos se a taxa de mudança for constante
AVISO IMPORTANTE: para intervalos maiores do que 1 ano, a aproximação das pessoas-ano vividos pela estimativa da população do meio do ano está sujeita a erros muito mais significativos
- exemplo: se r = 0,03 (ao ano) e o período de tempo = 10 anos, e fizermos a aproximação da população do meio do ano multiplicado por 10 anos, a razão entre pessoas-ano vividos e essa estimativa será 1,0038 → erro muito grande!
Lembrar que: população do meio do ano é utilizada como estimativa das pessoas-ano vividos, e não como subtituto das pessoas-ano vividos.
Recaptulando…
Taxa de crescimento instantânea:
(1.6 e 1.7)
Taxa de crescimento média anual:
(1.8)
Estimativa de pessoas-ano vividos:
(1.11)
Atividade para a próxima aula (25/02):
Com base nos conhecimentos adquiridos nesta aula, realize os seguintes cálculos para a Unidade da Federação (UF) escolhida:
Taxa de Crescimento:
- Calcule a taxa de crescimento populacional da UF no período selecionado;
- Apresente a fórmula utilizada e demonstre os cálculos passo a passo.
Total de Pessoas-Ano Vividos:
- Estime o total de pessoas-ano vividos pela população da UF ao longo do período analisado;
- Explique o conceito e detalhe o procedimento adotado para o cálculo.
Reprodução das Estimativas do Box 1.2:
- Refaça as estimativas apresentadas no Box 1.2 do livro do Preston, utilizando a população da UF escolhida;
- Atenção: verifique ao período de tempo de referência das taxas (anual, quinquenal, decenal, etc.).
Descrição dos Resultados:
- Interprete os resultados obtidos. O que eles indicam sobre a dinâmica populacional da UF no período estudado?
- Compare com os resultados obtidos na última atividade e discuta possíveis diferenças.
Entrega e Apresentação: 25/02
→ Envio da atividade: até 25/02, por email (janainaguiginski@gmail.com), em formato PDF;
→ Apresentação: cada aluno será convidado a fazer uma breve apresentação de seus resultados durante a última aula da disciplina (25/02).
